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高考二輪總復(fù)習(xí)《江海名師零距離》編寫組 編
高考二輪總復(fù) 習(xí)
2025
襟江帶?！⊥ㄍ篮梦磥?/p>
︽江海名師零距離︾編寫組編基礎(chǔ)版 4版
新高考 新模式
強(qiáng)主干
提素養(yǎng)
精準(zhǔn)發(fā)力
贏得高考
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(A正文）2025江海名師 二輪數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版A樣書印刷文件 電子樣書 12.3
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(A正文）2025江海名師 二輪數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版A樣書印刷文件 電子樣書 12.3
本書根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》,充分吸收近三年新高考Ⅰ、Ⅱ卷、及其他高考卷的命題理念,特別研究并吸收了試卷結(jié)構(gòu)改變的2024新高考九省聯(lián)考卷與2024新高考Ⅰ、Ⅱ卷試題特征,打造一本集專題突破、實(shí)戰(zhàn)演練于一體的高三二輪復(fù)習(xí)資料.本書面向廣大普通高中高三二輪復(fù)習(xí)的師生,以重點(diǎn)專題為抓手,以教學(xué)課時(shí)為單位,針對(duì)高考,精研學(xué)情,求“準(zhǔn)”;重組知識(shí),夯實(shí)基礎(chǔ),求“實(shí)”;學(xué)以致用,靈活遷移,求“活”;強(qiáng)化訓(xùn)練,提高能力,求“強(qiáng)”.本書分三個(gè)部分:課堂本 A———大專題篇(單冊(cè))、課堂本 A+———微專題篇(單冊(cè))、課后達(dá)標(biāo)檢測(cè):綜合分層 B———基礎(chǔ)篇、綜合分層 B+———提高篇(合冊(cè)).課堂本 A———大專題篇,為經(jīng)典專題,著重 于 基 礎(chǔ) 知 識(shí)、基 本 方 法、基 本 技 能,共 20 講,復(fù) 習(xí) 高 考 主 干 知 識(shí) 和 重 點(diǎn) 內(nèi) 容.課 堂 本A+———微專題篇,由熱點(diǎn)問題篇、新題型篇、思想方法篇構(gòu)成,共20講,研究高考的熱點(diǎn)問題,解密高考新題型,掌握數(shù)學(xué)的思想方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.綜合分層 B與 B+是綜合強(qiáng)化分層訓(xùn)練.綜合分層 B立足于高...
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文本內(nèi)容
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高考二輪總復(fù) 習(xí)
2025
襟江帶?！⊥ㄍ篮梦磥?/p>
強(qiáng)主干
提素養(yǎng)
精準(zhǔn)發(fā)力
贏得高考
新高考 新模式
A
《江海名師零距離》編寫組 編
基礎(chǔ)版 4版
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圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)
江海名師零距離.高考二輪總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)版 /
《江海名師零距離》編寫組編.-4版.-南京 :江蘇
鳳凰美術(shù)出版社,2023.11(2024.10重印)
責(zé) 任 編 輯 李凡偉
責(zé)任設(shè)計(jì)編輯 賁 煒
責(zé) 任 校 對(duì) 曹玄麒
責(zé) 任 監(jiān) 印 于 磊
書 名 江海名師零距離.高考二輪總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)版
JIANGHAI MINGSHI LINGJULI GAOKAO ERLUN ZONGFUXI SHUXUE JICHUBAN
編 者 《江海名師零距離》編寫組
出 版 發(fā) 行 江蘇鳳凰美術(shù)出版社(南京湖南路1號(hào) 郵編210009)
印 刷
開 本 890mm×1240mm 1/16
印 張 25.5
版 次 2023年11月第4版
印 次 2024年10月第2次印刷
標(biāo) 準(zhǔn) 書 號(hào)
估 價(jià) 98.00元
編輯部電話 025 68155671 印務(wù)部電話 025 68155658
郵箱 sumeijiaoyu@163.com 營(yíng)銷部地址 南京市湖南路1號(hào)
江蘇鳳凰美術(shù)出版社圖書凡印裝錯(cuò)誤可向承印廠調(diào)換
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本書根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》,充分吸收近三年新高考Ⅰ、Ⅱ
卷、及其他高考卷的命題理念,特別研究并吸收了試卷結(jié)構(gòu)改變的2024新高考九省聯(lián)考卷與2024
新高考Ⅰ、Ⅱ卷試題特征,打造一本集專題突破、實(shí)戰(zhàn)演練于一體的高三二輪復(fù)習(xí)資料.
本書面向廣大普通高中高三二輪復(fù)習(xí)的師生,以重點(diǎn)專題為抓手,以教學(xué)課時(shí)為單位,針對(duì)高
考,精研學(xué)情,求“準(zhǔn)”;重組知識(shí),夯實(shí)基礎(chǔ),求“實(shí)”;學(xué)以致用,靈活遷移,求“活”;強(qiáng)化訓(xùn)練,提高
能力,求“強(qiáng)”.
本書分三個(gè)部分:課堂本 A———大專題篇(單冊(cè))、課堂本 A+———微專題篇(單冊(cè))、課后達(dá)標(biāo)
檢測(cè):綜合分層 B———基礎(chǔ)篇、綜合分層 B+———提高篇(合冊(cè)).課堂本 A———大專題篇,為經(jīng)典專
題,著重 于 基 礎(chǔ) 知 識(shí)、基 本 方 法、基 本 技 能,共 20 講,復(fù) 習(xí) 高 考 主 干 知 識(shí) 和 重 點(diǎn) 內(nèi) 容.課 堂 本
A+———微專題篇,由熱點(diǎn)問題篇、新題型篇、思想方法篇構(gòu)成,共20講,研究高考的熱點(diǎn)問題,解
密高考新題型,掌握數(shù)學(xué)的思想方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.綜合分層 B與 B+是綜合強(qiáng)化分
層訓(xùn)練.綜合分層 B立足于高考單選前6題,多選前2題,填空前2題,解答前2題,基礎(chǔ)訓(xùn)練求穩(wěn)
固,確保顆粒歸倉(cāng)不丟分.綜合分層B+致力于高考單選后2題,多選后1題,填空后1題,解答后3
題,強(qiáng)化訓(xùn)練求突破,努力提升綜合能力爭(zhēng)高分.
課堂本 A、課堂本 A+的每一講由【考情回顧】或【考情概述】、【真題熱身】、【典例突破】、【課后
鞏固】四個(gè)板塊組成.【考情回顧】或【考情概述】———通過系統(tǒng)研究歷年高考卷,分析該專題在高考
中的地位,考查方式,試題的難度等.【真題熱身】———從不同角度精選針對(duì)本講的高考真題,以真
題導(dǎo)學(xué),感悟新高考,明確考什么,怎么考.【典例突破】———從高考考查重點(diǎn)精選典型問題,分析引
導(dǎo),探求思路,讓考生輕松突破思維障礙點(diǎn),掌握答題要點(diǎn),輕松應(yīng)對(duì)新高考.【課后鞏固】———精選
新高考地區(qū)的優(yōu)質(zhì)模擬題和最新高考題,將熱點(diǎn)問題和新題型以試題的形式呈現(xiàn),檢測(cè)復(fù)習(xí)效果,
有的放矢,舉一反三,提升考試的實(shí)戰(zhàn)能力.
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目 錄
專題一 三角與平面向量 ………………………………………………………………………… 1
第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) ……………………………………………………………… 1
第2講 三角恒等變換與解三角形 …………………………………………………………… 6
第1課時(shí) 三角恒等變換及三角形背景下的求值與最值問題 ……………………………… 6
第2課時(shí) 正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用 ……………………………………… 11
第3講 平面向量 ……………………………………………………………………………… 17
專題二 數(shù)列 ……………………………………………………………………………………… 22
第4講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 ………………………………………………………………… 22
第5講 數(shù)列的通項(xiàng)與求和 …………………………………………………………………… 26
第6講 遞推數(shù)列 ……………………………………………………………………………… 31
專題三 概率與統(tǒng)計(jì) …………………………………………………………………………… 35
第7講 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理 ……………………………………………………………… 35
第8講 概率與概率分布 ……………………………………………………………………… 39
第1課時(shí) 概率、離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望、方差 …………………………… 39
第2課時(shí) 超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布 ………………………………………………… 46
第9講 統(tǒng)計(jì)案例 ……………………………………………………………………………… 53
專題四 立體幾何與空間向量 ………………………………………………………………… 61
第10講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及證明 ………………………………………………… 61
第11講 空間幾何體的表面積與體積 ……………………………………………………… 66
第12講 綜合法求空間角和距離 …………………………………………………………… 71
第13講 利用空間向量求空間角和距離 …………………………………………………… 76
專題五 解析幾何 ………………………………………………………………………………… 81
第14講 直線與圓 …………………………………………………………………………… 81
第15講 圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì) ……………………………………………………… 85
第16講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ……………………………………………………… 91
第17講 直線與圓錐曲線的綜合問題 ……………………………………………………… 95
專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) …………………………………………………………………………… 100
第18講 函數(shù)的圖象與性質(zhì) ………………………………………………………………… 100
第19講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本問題 …………………………………………………… 106
第20講 利用導(dǎo)數(shù)研究方程與不等式 ……………………………………………………… 111
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專題一 三角與平面向量??????
專題一 三角與平面向量
第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
三 角
函 數(shù)
的 圖
象 與
性質(zhì)
2022·新高考Ⅰ
卷,6
2023·新高考Ⅰ
卷,15
2024·新高考Ⅰ
卷,7
2022·新高考Ⅱ
卷,9
2023·新高考Ⅱ
卷,16
2024·新高考Ⅱ
卷,9
高考對(duì)三角函數(shù)的考查:基
礎(chǔ)方 面 是 掌 握 三 角 函 數(shù) 的
定義、同角三角函數(shù)關(guān)系式
和誘導(dǎo)公式.重點(diǎn)是三角恒
等變換和三角函數(shù)的圖象、
周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)
稱性、最 值 等.高 考 對(duì) 三 角
函數(shù) 的 圖 象 與 性 質(zhì) 部 分 的
命題,常與三角恒等變換交
匯命 題.主 要 以 選 擇 題、填
空題的形式考查.
2024年新高考Ⅰ卷在考查三角函數(shù)的圖
象與性質(zhì)時(shí),結(jié)合了具體函數(shù)圖象的畫法,Ⅱ
卷則是考查了零點(diǎn)、對(duì)稱性、最值、周期性等基
本性質(zhì).屬于常規(guī)題型,難度中等.
【真題熱身】
1.(2024·新高考上海卷)下列函數(shù)f(x)
的最小正周期是2π的是 ( )
A.sinx+cosx
B.sinxcosx
C.sin
2x+cos
2x
D.sin
2x-cos
2x
2.(2024· 新高考北京卷)已知 f(x)=
sinωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-
x2|min=
π
2
,則ω= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·新高考Ⅱ卷)對(duì)于函數(shù)f(x)=
sin2x 和g(x)=sin2xπ 4 ,下 列 說 法 正 確
的有 ( )
A.f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱軸
4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=
cosωx-1(ω>0)在 區(qū) 間 [0,2π]上 有 且 僅 有
3個(gè)零點(diǎn),則ω 的取值范圍是 .
【典例突破】
考向1 三角函數(shù)的圖象
① 與圖象變換有關(guān)的三角函數(shù)問題
② 依據(jù)三角函數(shù)的圖象確定解析式
例1 (1)(2023·全國(guó)甲卷·理科)函數(shù)
y=f(x)的圖象由函數(shù)y=cos2x+
π 6 的圖
象向左平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則y=f(x)的
圖象與直線y=
1
2
x1
2
的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????(2) (2023· 新 高 考 Ⅱ 卷 )已 知 函 數(shù)
f(x)=sin(ωx+φ),如圖,A,B 是直線y=
1
2
與曲線y=f(x)的兩個(gè)交點(diǎn).若 AB=
π
6
,則
f(π)= .
【點(diǎn)評(píng)】
本題主要考查根據(jù)圖象求出ω 以及函數(shù)
f(x)的表達(dá)式,從而解出,熟練掌握三角函數(shù)
的有關(guān)性質(zhì),以及特殊角的三角函數(shù)值是解題
關(guān)鍵.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2023·天津卷)已知函數(shù)
f(x)的一條對(duì)稱軸為直線x=2,一個(gè)周期為
4,則f(x)的解析式可能為 ( )
A.f(x)=sin
π
2 x
B.f(x)=cos
π
2 x
C.f(x)=sin
π
4 x
D.f(x)=cos
π
4 x
(2)(2024· 重 慶 三 模 改 編)已 知 函 數(shù)
f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2 的 部 分 圖 象 如 圖 所 示.若 f(θ)=
1
3
,則
f(x)= .
考向2 三角函數(shù)的性質(zhì)
① 性質(zhì)的判斷
② 運(yùn)用性質(zhì)確定參數(shù)的范圍
例2 (1)(2024·浙江金華二模)已知函
數(shù)f(x)=sinωx-cosωx+
π 6 (ω>0)在[0,
π]上有且僅有2個(gè)零點(diǎn),則ω 的取值范圍是
( )
A. 1,
13
6
?
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??
B.
7
6
,
13
6
?
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??
C.
7
6
,2
?
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??
D. 1,
13
6
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??
(2)(多選題)(2023·湖北武漢三模)已知
函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<
π
2 .若
f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)
π
3 ,0 對(duì)稱,且直線y=1
與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)之間的最短距
離為π,則 ( )
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是
π
12
+kπ,
7π
12
+kπ ,k∈Z
C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-
π
12
對(duì)稱
D.將f(x)的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度
后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
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專題一 三角與平面向量??????對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2023·湖北荊州二模)已
知ω>0,函數(shù)f(x)=3sinωx+
π 4 -2在區(qū)間
π
2
,π
?
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??
?
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??
上單調(diào)遞減,則ω 的取值范圍是 ( )
A.0,
1 2
?
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??
B.(0,2]
C.
1
2
,
3
4
?
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??
?
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??
D.
1
2
,
5
4
?
?
??
?
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??
(2)(多選題)(2023·湖南岳陽市二模)已
知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+φ) ω∈N+ ,|φ|<
π
2 的最小正周期 T∈
3π
4
,
3π 2 ,將函數(shù)f(x)
的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象關(guān)于
原點(diǎn)對(duì)稱,則 ( )
A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-
5π
12
對(duì)稱
B.函數(shù)f(x)在
π
6
,
π 2 上單調(diào)遞減
C.函數(shù)f(x)在 0,
13π 12 上有兩個(gè)極值點(diǎn)
D.方程f(x)=1在[0,π]上有3個(gè)解
考向3 與三角函數(shù)最值(值域)有關(guān)的綜
合問題
例3 (2023· 山東菏澤二模)已知函數(shù)
f(x)= 3sinωx -cosωx (ω >0)在 區(qū) 間
-
2π
5
,
3π
4
?
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??
?
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??
上單調(diào)遞增,且在區(qū)間[0,π]上只取
得一次最大值,則ω 的取值范圍是 ( )
A.
2
3
,
8
3
?
?
??
?
?
??
B.
2
3
,
5
6
?
?
??
?
?
??
C.
2
3
,
8
9
?
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??
?
?
??
D.
5
6
,
8
9
?
?
??
?
?
??
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2024·新高考天津卷)已知
函數(shù)f(x)=sin3ωx+
π 3 (ω>0)的最小正周
期為π,則函數(shù)在 -
π
12
,
π
6
?
?
??
?
?
??
的最小值是 ( )
A.-
3
2
B.-
3
2
C.0 D.
3
2
【課后鞏固】
1.(2024· 山 東 青 島 市 三 模)為 了 得 到
y=sin2x+cos2x 的圖象,只要把y= 2cos2x
的圖象上所有的點(diǎn) ( )
A.向右平行移動(dòng)
π
8
個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向左平行移動(dòng)
π
8
個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平行移動(dòng)
π
4
個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向左平行移動(dòng)
π
4
個(gè)單位長(zhǎng)度
2.(2024· 江 蘇 宿 遷 市 三 模)已 知 函 數(shù)
f(x)=cosx+cosxπ 3 +1,則下列結(jié)論正
確的是 ( )
A. -
π
2
,
π
4
?
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??
?
?
??
是f(x)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間
B. -
π
3 ,0 是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心
C.f(x)在 -
2π
3
,0
?
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??
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??
上值域?yàn)?-
1
2
,
5
2
?
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??
?
?
??
D.將f(x)的圖象向右平移
5π
6
個(gè)單位長(zhǎng)
度,再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的函
數(shù)解析式為y= 3cosx
?
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
3.(2023· 浙 江 金 華 市 二 模)已 知 函 數(shù)
f(x)=sinωx-cosωx+
π 6 (ω>0)在[0,π]上
有且僅有2個(gè)零點(diǎn),則ω 的取值范圍是 ( )
A. 1,
13
6
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B.
7
6
,
13
6
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C.
7
6
,2
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D. 1,
13
6
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4.(2024·河北石家莊市三模)已知函數(shù)
f(x)=sinωx-cosωx(ω>0,x∈R)在 區(qū) 間
π
2
,
3π 2 內(nèi)沒有零點(diǎn),則f(x)周期的最小值是
( )
A.12π B.2π C.
12π
5
D.4π
5.(2024· 湖 北 十 堰 市 三 模)已 知 函 數(shù)
f(x)=sin2xπ 6 ,則 ( )
A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)
5π
12 ,0 中心
對(duì)稱
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-
π
6
對(duì)稱
C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-π,π)內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間 -
π
2
,0
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上單調(diào)遞增
6.(多選題)(2023·山東淄博二模)已知
函數(shù) f(x)=Asin(ωx +φ) A >0,ω >0,
-
π
2
<φ<
π
2 的部分圖象如圖所示,則 ( )
A.f(x)的最小正周期為π
B.當(dāng)x∈ -
π
4
,
π
4
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時(shí),f(x)的最大值為 3
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)
7π
6 ,0 對(duì)稱
D.曲線f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為
y=2 3x+1
7.(2024·全國(guó)甲卷)函數(shù)f(x)=sinx3cosx 在[0,π]上的最大值是 .
8.(2024· 河 北 衡 水 市 一 模 )將 函 數(shù)
f(x)=sinωx+
π 3 (ω>0)的圖象向左平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線 C,若 C 關(guān)于y 軸對(duì)
稱,則ω 的最小值是 .
9.(2023· 山 東 青 島 市 二 模)已 知 函 數(shù)
f(x)=2cos
2ωx+sin2ωx(ω>0),x1,x2 是
f(x)的 兩 個(gè) 相 鄰 極 值 點(diǎn),且 滿 足|x1 -
x2|=π.
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)若f(α)=
1
3
,求sin2α.
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專題一 三角與平面向量??????
10.(2023·廣東深圳市三模)在① x=
π
6
是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸;②
π
12
是函數(shù)
f(x)的一個(gè)零點(diǎn);③ 函數(shù)f(x)在[a,b]上單
調(diào)遞增,且b-a 的最大值為
π
2
.這三個(gè)條件中
任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答.
已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωxπ 6 -
1
2
(0<ω<2), ,求f(x)在 -
π
2
,
π
2
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上
的單調(diào)遞減區(qū)間.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一
個(gè)解答計(jì)分.
11.(2023· 山 東 濟(jì) 寧 二 模)已 知 函 數(shù)
f(x)=cos
4x-sin
4x+sin2xπ 6 .
(1)求函數(shù)f(x)在 0,
π
2
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上的單調(diào)遞增
區(qū)間.
(2)將 函 數(shù) f(x)的 圖 象 向 左 平 移 φ
0<φ<
π 4 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖
象.若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)
π
3 ,0 成中心對(duì)
稱,且在 -
π
4
,α
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上的值域?yàn)?-
1
2
,1
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,求α 的
取值范圍.
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
第2講 三角恒等變換與解三角形
第1課時(shí) 三角恒等變換及三角形背景下的求值與最值問題
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
三 角
恒 等
變
2023· 新
高 考 Ⅰ
卷,8
2024· 新
高 考 Ⅰ
卷,4
2022· 新
高 考 Ⅱ
卷,6
2023· 新
高 考 Ⅱ
卷,7
2024· 新
高 考 Ⅱ
卷,13
高考對(duì)三角函數(shù)的考查:基礎(chǔ)方
面是掌握三角函數(shù)的定義、同角
三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式.重
點(diǎn)是三 角 恒 等 變 換 和 三 角 函 數(shù)
的圖象與性質(zhì).三角恒等變換位
于三角 函 數(shù) 與 數(shù) 學(xué) 變 換 的 結(jié) 合
點(diǎn)上,高考會(huì)側(cè)重綜合推理能力
和運(yùn)算能力的考查,體現(xiàn)三角恒
等變換的工具性作用,以及會(huì)有
一些它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用.化簡(jiǎn)
與求值是新高考的的熱點(diǎn)內(nèi)容,
其中關(guān)鍵是利用兩角和與差、二
倍角的 正 弦、余 弦、正 切 公 式 等
進(jìn)行恒等變換,“角”的變換是三
角恒等變換的核心.應(yīng)提高運(yùn)用
聯(lián)系轉(zhuǎn) 化 的 觀 點(diǎn) 去 處 理 問 題 的
自覺 性,體 會(huì) 一 般 與 特 殊 的 思
想、換元 的 思 想、方 程 的 思 想 等
數(shù)學(xué)思 想 在 三 角 恒 等 變 換 中 的
作用.
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查到了
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及三角恒等變換.其中
Ⅰ卷、Ⅱ卷的三角恒等變換都結(jié)合了兩角和差
的公式,屬于常規(guī)題型,難度中等.
【真題熱身】
1.(2024 · 全 國(guó) 甲 卷 · 數(shù) 學(xué) )已 知
cosα
cosα-sinα
= 3,則tanα+
π 4 = ( )
A.2 3+1 B.2 3-1
C.
3
2
D.1- 3
2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 為第一象
限 角,β 為 第 三 象 限 角,tanα +tanβ =4,
tanαtanβ= 2+1,則sin(α+β)= .
3.(2023· 新 高 考 Ⅰ 卷)已 知 在 △ABC
中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.
(1)求sinA;
(2)設(shè)AB=5,求AB 邊上的高.
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專題一 三角與平面向量??????
【典例突破】
考向1 三角恒等變換之變“角”“名”“式”
例1 (1)(2024·安徽合肥市三模)已知
2sin=1+2 3cosα,則sin2απ 6 = ( )
A.-
1
8
B.-
7
8
C.
3
4
D.
7
8
(2) (2023· 湖 南 湘 潭 市 二 模 )已 知
tanα=- 3,則cos2α+
π 3 = ( )
A.-
3
2
B.-1
C.
1
2
D.
3
2
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2024·河北石家莊市三
模)已知角α,β滿足tanα=
1
3
,2sinβ=cos(α+
β)sinα,則tanβ= ( )
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
7
D.2
(2)(2024· 浙 江 三 模)若 sin(α-β)+
cos(α-β)=2 2sinαπ 4 sinβ,則 ( )
A.tan(α-β)=-1
B.tan(α-β)=1
C.tan(α+β)=-1
D.tan(α+β)=1
考向2 與三角恒等變換有關(guān)的解三角形
問題
例 2 (2023· 山 東 日 照 市 三 模)已 知
△ABC 內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,且
2ccosA=acosB+bcosA.
(1)求角A;
(2)若 △ABC 的 周 長(zhǎng) 為 3 3,且 △ABC
外接圓的半徑為1,求△ABC 的面積.
對(duì)點(diǎn) 訓(xùn) 練 (2023· 廣 東 茂 名 二 模)在
△ABC 中,角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,
且滿足tanB=
sinC+
π 3
sinCπ 6
.
(1)求A 的大小;
(2)若 D 為 邊 BC 上 一 點(diǎn),且 2CD =
AD=BD,試判斷△ABC 的形狀.
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????例3 (2024· 新高考天津卷)在 △ABC
中,cosB=
9
16
,b=5,
a
c
=
2
3
.求:
(1)a;
(2)sinA;
(3)cos(B-2A).
對(duì)點(diǎn) 訓(xùn) 練 (2024· 山 東 青 島 三 模)記
△ABC 的內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c.
已知△ABC 的外接圓半徑R=2 2,且tanB+
tanC=
2sinA
cosC
.求:
(1)B 和b 的值;
(2)AC 邊上高的最大值.
【課后鞏固】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α 為銳角,且
cosα=
1+ 5
4
,則sin
α
2
= ( )
A.
3- 5
8
B.
-1+ 5
8
C.
3- 5
4
D.
-1+ 5
4
2.(2024· 江 蘇 南 通 市 三 模)已 知 cos
π
4 -θ =3cosθ+
π 4 ,則sin2θ= ( )
A.
3
5
B.
4
5
C.-
3
5
D.-
4
5
3. (2023 · 廣 東 潮 州 市 二 模 )若
3sinα+2cosα
2sinα-cosα
=
8
3
,則tanα+
π 4 = ( )
A.-3 B.3
C.-2 D.2
4.(2024·重慶三模)已知α∈ 0,
π 3 ,且
2sin2α=4cosα-3cos
3α,則cos2α= ( )
A.
2
9
B.
1
3
C.
7
9
D.
2 2
3
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專題一 三角與平面向量??????
5.(多選題)(2024·廣東深圳三模)已知
銳角三角形 ABC 的三個(gè)內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊
分別是a,b,c,且 △ABC 的 面 積 為
3
4
(a
2 +
c
2-b
2),則下列說法正確的是 ( )
A.B=
π
3
B.A 的取值范圍是
π
6
,
π 2
C.若b= 3,則△ABC 的外接圓的半徑
為2
D.若a= 3,則△ABC 的面積的取值范
圍是 3 3
8
,
3 3 2
6.(多選題)(2023·河北石家莊市三模)
若△ABC 的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,
b,c,且滿足b+2acosC=0,則下列結(jié)論正確的
是 ( )
A.角C 一定為銳角
B.a
2+2b
2-c
2=0
C.3tanA+tanC=0
D.tanB 的最小值為
3
3
7.(2024·福建漳州市三模)已知cos(αβ)=
1
2
,sinαsinβ=
1
3
,則 cos(2α +2β)=
.
8.(2024· 湖 北 武 漢 市 二 模)在 △ABC
中,角 A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 為 a,b,c.若
bsin
A+B
2
= csinB,則 角 C 的 大 小 為
.
9.(2023·天津卷改編)在△ABC 中,角
A,B,C 所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知a= 39,
b=2,∠A=120°.求:
(1)sinB 的值;
(2)sin(B-C)的值.
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
10.(2024·廣東潮州二模)在銳角三角形
ABC 中,角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,已
知 3tanAtanC=tanA+tanC+ 3.求:
(1)角B 的大小;
(2)cosA+cosC 的取值范圍.
11.(2023·山東濟(jì)寧市三模)已知銳角三
角形ABC 的內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,
c,且
2b-c
cos(A+B)=
a
cos(B+C).
(1)求角A 的大小;
(2)若a=6,求b+c的取值范圍.
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第18頁
專題一 三角與平面向量??????
第2課時(shí) 正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
正余弦定理
解 三 角 形、
三角形面積
公式
2024 新 高
考Ⅰ卷·15
2022 新 高
考Ⅱ卷·18
2024 新 高
考Ⅱ卷·15
解 三 角 形
結(jié) 合 基 本
不等式
2022 新 高
考Ⅰ卷·18
解三角形結(jié)
合三角形的
中線問題
2023 新 高
考Ⅱ卷·17
解三角形結(jié)
合三角形的
垂線問題
2023 新 高
考Ⅰ卷·17
高考 對(duì) 解 三 角 形 的 考
查,重點(diǎn)是掌握正弦定
理、余 弦 定 理 及 其 變
形.能 利 用 正 弦 定 理、
余弦 定 理 解 決 一 些 簡(jiǎn)
單的三角形度量問題.
能夠運(yùn)用正弦定理、余
弦定 理 等 知 識(shí) 和 方 法
解決 一 些 與 測(cè) 量 和 幾
何計(jì) 算 有 關(guān) 的 實(shí) 際 問
題.命 題 較 為 靈 活,題
型多變,往往以小題的
形式 獨(dú) 立 考 查 正 弦 定
理或余弦定理,以解答
題的 形 式 綜 合 考 查 定
理 的 綜 合 應(yīng) 用,難 度
中等.
2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解
三角形,主要知識(shí)點(diǎn)就是使用正余弦定理及其
變形來解三角形,其中也蘊(yùn)含了三角函數(shù)的知
識(shí),例如輔助角公式等,難度中等.
【真題熱身】
1.(2024·全國(guó)甲卷·數(shù)學(xué))在△ABC 中
內(nèi)角A,B,C 所對(duì)邊分別為a,b,c.若 B=
π
3
,
b
2=
9
4
ac,則sinA+sinC= ( )
A.
3
2
B.2
C.
7
2
D.
3
2
2.(2023· 全 國(guó) 甲 卷 · 理 科)在 △ABC
中,∠BAC=60°,AB=2,BC= 6,∠BAC 的
平分線交BC 于點(diǎn)D,則AD= .
3.(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)記△ABC 內(nèi)
角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinC=
2cosB,a
2+b
2-c
2= 2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC 的面積為3+ 3,求c.
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第19頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
【典例突破】
考向1 解三角形中的基本問題(含四邊
形載體)
例1 (1)(2023· 全國(guó)乙卷)在 △ABC
中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
① 求sin∠ABC 的值;
② 若 D 為BC 上一點(diǎn),且 ∠BAD =90°,
求△ADC 的面積.
(2)(2023· 山 東 聊 城 一 模)在 四 邊 形
ABCD 中,AB∥CD.
① 證 明:AD · sin ∠BAD = BC ·
sin∠BCD;
② 若AD=1,AB=3,BC= 3,∠BAD=
2∠BCD,求△BCD 外接圓的面積.
對(duì)點(diǎn) 訓(xùn) 練 (2023· 山 東 濰 坊 一 模)在
①tanAtanC- 3tanA=1+ 3tanC;② (2c3a)cosB = 3bcosA;③ (a- 3c)sinA +
csinC=bsinB.這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充
在下面問題中并作答.
問題:在△ABC 中,角 A,B,C 所對(duì)的邊
分別為a,b,c,且 .
(1)求角B 的大小;
(2)已知c=b+1,且角A 有兩解,求b 的
取值范圍.
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第20頁
專題一 三角與平面向量??????考向2 解三角形的實(shí)際應(yīng)用
① 與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的測(cè)量問題
② 生活中的實(shí)際應(yīng)用問題
例2 (1)(2023·南通二模)古代數(shù)學(xué)家
劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)
著作,也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉
徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度,已知
A 是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn)),
地面上 B,C 兩點(diǎn)與點(diǎn)A 在同一條直線上,且
在點(diǎn)A 的同側(cè).若在 B,C 處分別測(cè)得球體建
筑物的最大仰角為60°和20°,且BC=100m,則
該球體建筑物的高度約為(參考數(shù)據(jù):cos10°≈
0.985) ( )
A.49.25m
B.50.76m
C.56.74m
D.58.60m
(2)(2023·山東青島一模)濕地公園是國(guó)
家濕地保護(hù)體系的重要組成部分,某市計(jì)劃在
如圖所示的四邊形 ABCD 區(qū)域建一處濕地公
園.已知∠DAB=90°,∠DBA=45°,∠BAC=
30°,∠DBC =60°,AB =2 2千 米,則 CD =
千米.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2023·河北衡水二模)如圖,
一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到
A 處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D 在西偏北30°的
方向上,行駛600m 后到達(dá) B 處,測(cè)得此山頂
在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的
高度CD= m.
考向3 解三角形中的綜合問題(涉及“三
線”問題)
① (抽象)邊角關(guān)系中的求值問題
② (抽象)邊角關(guān)系中與最值(范圍)有關(guān)
的綜合問題
例3 (2023·新高考Ⅱ卷)記△ABC 的
內(nèi) 角 A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 為 a,b,c,已 知
△ABC 的 面 積 為 3,D 為 邊 BC 的 中 點(diǎn),且
AD=1.
(1)若∠ADC=
π
3
,求tanB 的值;
(2)若b
2+c
2=8,求b,c的長(zhǎng).
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第21頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????例4 (2024·湖南長(zhǎng)沙市三模)記△ABC
的內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=
2,b=4.
(1)若cosB+2cosA=ccosC,求C 的值;
(2)若 D 是邊AB 上的一點(diǎn),且CD 平分
∠ACB,cos∠ACB=-
1
9
,求CD 的長(zhǎng).
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2023·山東青島市三模)記
△ABC 的內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,
已知2csinB=(2a-c)tanC.
(1)求角B;
(2)若c=3a,D 為AC 中點(diǎn),BD= 13,
求△ABC 的周長(zhǎng).
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第22頁
專題一 三角與平面向量??????
【課后鞏固】
1.(2023·北京卷)在△ABC 中,(a+c)
(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則∠C=
( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
2.(2024·河北秦皇島市二模)在△ABC
中,內(nèi) 角 A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 為a,b,c.若
cosA
a
+
cosB
b
=
sinC
c
,13b
2 +13c
2 =10bc+
13a
2,則tanB 的值為 ( )
A.
7
12
B.
3
4
C.
12
7
D.
4
3
3.(2023·全國(guó)乙卷)在△ABC 中,內(nèi)角
A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 是a,b,c.若 acosB -
bcosA=c,且C=
π
5
,則B= ( )
A.
π
10
B.
π
5
C.
3π
10
D.
2π
5
4.(2023·蘇錫常鎮(zhèn)一模)在△ABC 中,
∠BAC=
2π
3
,∠BAC 的平分線AD 交BC 于點(diǎn)
D,△ABD 的面積是 △ADC 面積的 3 倍,則
tanB= ( )
A.
3
7
B.
3
5
C.
3 3
5
D.
6- 3
33
5.(多選題)(2024·河北唐山市三模)已
知△ABC 內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別是a,b,c,
A=2B,則 ( )
A.a
2=c(b+c)
B.
b
c
+
a
2
b
2 的最小值為3
C.若△ABC 為銳角三角形,則
c
b
∈(1,2)
D.若a=2 6,b=3,則c=5
6.(多選題)(2023·湖南衡陽市一模)在
△ABC 中,角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,
則 ( )
A.
a
sinA
=
b+c
sinB+sinC
B.若acosB=bcosA,則a=b
C.若sin2A=sin2B,則△ABC 是等腰三
角形
D. 若 △ABC 為 銳 角 三 角 形,則
sinB>cosC
7.在 △ABC 中,已 知 B =120°,AC =
19,AB=2,則BC= .
8.(2024·湖南長(zhǎng)沙市三模)已知△ABC
的內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,C=60°,
c=7.若a-b=3,D 為 AB 中 點(diǎn),則 CD =
.
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第23頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
9.(2023· 全 國(guó) 甲 卷)記 △ABC 的 內(nèi) 角
A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 為 a,b,c,已 知
b
2+c
2-a
2
cosA
=2.
(1)求bc的值;
(2)若
acosB-bcosA
acosB+bcosA
-
b
c
=1,求△ABC
面積.
10.(2024· 新課標(biāo)全國(guó) Ⅱ 卷)記 △ABC
的內(nèi)角 A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 為a,b,c,已 知
sinA+ 3cosA=2.
(1)求 A.
(2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC
的周長(zhǎng).
11.(2023·山東菏澤市一模)如圖,在平
面四 邊 形 ABCD 中,∠ABC=θ(0<θ<π),
AB=BC=CD=1,AC⊥CD.
(1)試用θ表示BD 的長(zhǎng);
(2)求AC
2+BD
2 的最大值.
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第24頁
專題一 三角與平面向量??????
第3講 平面向量
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
平面向量的
線性運(yùn)算
2022· 新高
考Ⅰ卷,3
平 面 向 量
垂 直 的 坐
標(biāo)運(yùn)算
2023· 新高
考Ⅰ卷,3
2024· 新高
考Ⅰ卷,3
平 面 向 量
夾 角 的 坐
標(biāo)運(yùn)算
2022· 新高
考Ⅱ卷,4
平 面 向 量
數(shù) 量 積 的
綜合運(yùn)算
2023· 新高
考Ⅱ卷,13
2024· 新高
考Ⅱ卷,3
高考 對(duì) 平 面 向 量 的 考
查,一般為平面向量基
本定 理、坐 標(biāo) 運(yùn) 算、數(shù)
量積 的 運(yùn) 算、化 簡(jiǎn)、證
明及 數(shù) 量 積 的 應(yīng) 用 問
題,如 平 行、垂 直、距
離、夾 角 等 問 題 的 計(jì)
算,難 度 一 般 不 大.在
解答 題 中 常 與 三 角 函
數(shù)、圓錐曲線問題相結(jié)
合,主要以條件的形式
出 現(xiàn),或 作 為 解 決 角
(特別 是 垂 直)與 定 比
分點(diǎn)等的工具.
2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到
了平面向量的垂直運(yùn)算,Ⅱ卷還結(jié)合了數(shù)量積
的綜合運(yùn)算.總體上來說,平面向量知識(shí)點(diǎn)的
考查難度依舊是較易的,掌握基本的知識(shí)點(diǎn)和
擁有基本的運(yùn)算能力即可.
【真題熱身】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,
1),b=(2,x).若b⊥(b-4a),則x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,
1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),則
( )
A.λ+μ=1
B.λ+μ=-1
C.λμ=1
D.λμ=-1
3.(多選題)(2021·新高考Ⅰ卷)已知 O
為坐 標(biāo) 原 點(diǎn),點(diǎn) P1 (cosα,sinα),P2(cosβ,
-sinβ),P3 (cos(α+β),sin(α+β)),A (1,
0),則 ( )
A.|OP1
→|=|OP2
→|
B.|AP1
→|=|AP2
→|
C.OA
→·OP3
→=OP1
→·OP2
→
D.OA
→·OP1
→=OP2
→·OP3
→
4.(2024·新高考天津卷)在邊長(zhǎng)為1的
正方形 ABCD 中,點(diǎn) E 為線段CD 的三等分
點(diǎn),CE=
1
2
DE,BE
→=λBA
→+μBC
→,則λ+μ=
;若F 為線段BE 上的動(dòng)點(diǎn),G 為AF
中點(diǎn),則AF
→·DG
→的最小值為 .
【典例突破】
考向1 線性運(yùn)算及基本定理
例1 (1)(2023·江蘇南通二模)在平行
四邊形ABCD 中,BE
→=
1
2
BC
→,AF
→=
1
3
AE
→.若
AB
→=mDF
→+nAE
→,則 m+n= ( )
A.
1
2
B.
3
4
C.
5
6
D.
4
3
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第25頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????(2)(2023·全國(guó)甲卷·理科)向量a,b,c
滿足|a|=|b|=-1,|c|= 2,且a+b+c=
0,則cos<a-c,b-c>= ( )
A.-
1
5
B.-
2
5
C.
2
5
D.
4
5
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2023·廣東深圳三模)已知
等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 2,D 為BC 的中
點(diǎn),P 為線段AD 上一點(diǎn),PE⊥AC,垂足為E,
則當(dāng)PB
→·PC
→=-
2
3
時(shí),PE
→= ( )
A.-
1
3
AB
→+
2
3
AC
→
B.-
1
3
AB
→+
1
6
AC
→
C.-
1
6
AB
→+
1
3
AC
→
D.-
2
3
AB
→+
1
3
AC
→
考向2 數(shù)量積(含投影向量、平行與垂直
等,涉及投影法、極化恒等式等)
例 2 (1)(2023· 全 國(guó) 乙 卷)正 方 形
ABCD 的 邊 長(zhǎng) 是 2,E 是 邊 AB 的 中 點(diǎn),則
EC
→·ED
→= ( )
A.5 B.3
C.2 5 D.5
(2)(2024·山東棗莊市一模)如圖,已知
正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為4,若動(dòng)點(diǎn) P 在以AB
為直徑 的 半 圓 上 (正 方 形 ABCD 內(nèi) 部,含 邊
界),則PC
→·PD
→的取值范圍是 ( )
A.(0,16]
B.[0,16]
C.(0,4)
D.[0,4]
(3)(2024·福建寧德市三模)已知e1,e2
是兩個(gè)單位向量,若e1 在e2 上的投影向量為
1
2
e2,則e1 與e1-e2 的夾角為 .
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2023·山東泰安二模)已
知非零向量a,b 滿足(a+2b)⊥(a-2b),且向
量b 在向量a 方向上的投影向量是
1
4
a,則向量
a 與b 的夾角是 ( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
2π
3
(2)(2023·湖南懷化一模)如圖放置的邊
長(zhǎng)為 1 的 正 方 形 ABCD,頂 點(diǎn) A,D 分 別 在
x 軸、y 軸 正 半 軸 (含 坐 標(biāo) 原 點(diǎn))上 滑 動(dòng),則
OB
→·OC
→的最大值為 .
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— 18 —
第26頁
專題一 三角與平面向量??????考向3 與三角等交匯的向量綜合問題
① 與三角恒等變換交匯
② 與解三角形交匯
③ 與三角函數(shù)交匯
例3 (2023· 福建南平一模)在 △ABC
中,角 A,B,C 的 對(duì) 邊 分 別 是 a,b,c,若
sinB
sinA+sinC
+
sinC
sinA+sinB
=1.
(1)求角A 的大小;
(2)若 D 是 邊 BC 上 的 一 點(diǎn),且 AD
→ =
1
3
AB
→+
2
3
AC
→,AD =2,求△ABC 的面積的最
大值.
對(duì)點(diǎn) 訓(xùn) 練 (2023· 湖 北 荊 州 二 模)在
△ABC 中,若 BC
→·BA
→+2AC
→·AB
→=CA
→·
CB
→,則
sinA
sinC
= .
【課后鞏固】
1.(2024·河北保定市三模)已知平面向
量a,b,滿足a=(2cosθ,2sinθ)(θ∈R),|b|=
10,a 與b 的夾角為120°,則b 在a 方向上的投
影向量為 ( )
A.-
3
2
a
B.-
5 3
2
a
C.-
5
2
a
D.與θ有關(guān)
2.(2024·全國(guó)甲卷)已知向量a=(x+
1,x),b=(x,2),則 ( )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要條件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要條件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分條件
D.“x=-1+ 3”是“a∥b”的充分條件
3.(2023·湖北宜昌二模)在△ABC 中,
AB
→·AC
→=4,|BC
→|=2,且 點(diǎn) D 滿 足BD
→ =
DC
→,則 AD
→ = ( )
A.5 B.6
C.3 D.
3
2
4.(2023· 全國(guó)甲卷)已知向量a=(3,
1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>= ( )
A.
1
17
B.
17
17
C.
5
5
D.
2 5
5
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第27頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
5.(多選題)(2023·山東濟(jì)南市三模)在
△ABC 中,M 是BC 的中點(diǎn).若 AB
→=a,AC
→=
b,則|AM
→|= ( )
A.
1
2
|a-b|
B.
1
2
|a+b|
C.
1
2
2(a
2+b
2)-(a-b)2
D.
1
2
a
2+b
2
6.(多選題)(2023·湖北黃石一模)已知
O 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC 的中心,則
( )
A.|AB
→+BC
→+CA
→|=6
B.AB
→·AC
→=2
C.|OA
→+OB
→+OC
→|=0
D.3AO
→·OB
→=2
7.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b 滿
足|a-b|= 3,|a+b|=|2a-b|,則|b|=
.
8.(2024·天津紅橋區(qū)二模)太極圖被稱
為“中華第一圖”,其形狀如陰陽兩魚互抱在一
起,因而被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖所示的
圖形是由半徑為2的大圓 O 和兩個(gè)對(duì)稱的半
圓弧組成的,線段 MN 過點(diǎn)O 且兩端點(diǎn) M,N
分別在兩個(gè)半圓上,點(diǎn) P 是大圓上一動(dòng)點(diǎn),令
PM
→=a,PN
→=b.若 PO
→=λ1a+λ2b,則λ1 =
;a·b 的最小值為 .
9.(2023· 天 津 卷 改 編)在 △ABC 中,
∠A=60°,BC=1,點(diǎn) D 為AB 的中點(diǎn),點(diǎn) E
為CD 的中點(diǎn).
(1)設(shè) AB
→ =a,AC
→ =b,試 用 a,b 表
示AE
→;
(2)若 BF
→ =
1
3
BC
→,求 AE
→ ·AF
→的 最
大值.
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第28頁
專題一 三角與平面向量??????
10.(2023· 山 東 濟(jì) 南 市 三 模 改 編)在
△ABC 中,若|AB
→+AC
→|=2,|BC
→+BA
→|=3,
求△ABC 面積的最大值.
11.(2023·山東濰坊市二模)在平面四邊
形ABCD 中,∠BAD=
π
2
,∠ACD=
π
3
,AD=
3,S 為 △ABC 的 面 積, 且 2S =
- 3BA
→·BC
→.
(1)求角B 的大小;
(2)若cosD=
1
2
,求四邊形ABCD 的周長(zhǎng).
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第29頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
專題二 數(shù) 列
第4講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
等差、等
比 數(shù) 列
基 本 量
的計(jì)算
2024· 新 高
考Ⅱ卷,12
2023· 新 高
考Ⅰ卷,20
2022· 新 高
考Ⅱ卷,17
等 比 數(shù)
列 的 證
明、數(shù)列
結(jié) 合 解
析幾何
2024· 新 高
考Ⅱ卷,19
累 乘 法
求 通 項(xiàng)
公式、裂
項(xiàng) 相 消
法求和
2022· 新 高
考Ⅰ卷,17
含 奇 偶
項(xiàng) 的 分
組求和
2023· 新 高
考Ⅱ卷,18
高考對(duì)數(shù)列的考查:
① 數(shù)列自身內(nèi)部問題的
綜合考查,如數(shù)列的遞推
公式、等 差、等 比 數(shù) 列 的
性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)
和公式、數(shù)列求和等;
② 構(gòu) 造 新 數(shù) 列 求 通 項(xiàng)、
求和,如 “歸 納、累 加、累
乘,分組、錯(cuò)位相減、倒序
相加、裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和”等
方法的應(yīng)用與創(chuàng)新;
③ 綜合性問題如與不等
式、函數(shù)等其他知識(shí)的交
匯問題,與數(shù)列有關(guān)的數(shù)
學(xué)文化問題及與實(shí)際生
活相關(guān)的應(yīng)用問題以及
結(jié)構(gòu)不良問題.數(shù)列命題
形式 多 種 多 樣,單 選 題、
多選題、填空題、解答題4
類題型均有.小題難度中
等或較難.
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新
定義問 題,Ⅱ 卷 考 查 了 等 差 數(shù) 列 基 本 量 的 計(jì)
算,體現(xiàn)在填空第一題中,難度較易.大題中考
查了等比數(shù)列的證明,但是是結(jié)合雙曲線考查
的,難度較難.
【真題熱身】
1.(2024· 全 國(guó) 甲 卷 · 數(shù) 學(xué))等 差 數(shù) 列
{an}的前n 項(xiàng)和為Sn.若S5=S10,a5=1,則
a1= ( )
A.-2 B.
7
3
C.1 D.2
2.(2023·天津卷)已知{an}為等比數(shù)列,
Sn 為數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,an+1=2Sn +2,則
a4 的值為 ( )
A.3 B.18 C.54 D.152
3.(2023·新高考Ⅰ卷)記Sn 為數(shù)列{an}
的 前 n 項(xiàng) 和,設(shè) 甲:{an }為 等 差 數(shù) 列;乙:
Sn n 為等差數(shù)列,則甲是乙的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
4.(2024·上海三模)已知兩個(gè)等差數(shù)列
2,6,10,…,202和2,8,14,…,200,將這兩個(gè)等
差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)
新 數(shù) 列,則 這 個(gè) 新 數(shù) 列 的 各 項(xiàng) 之 和 為
.
【典例突破】
考向1 等差(比)數(shù)列的判斷與證明
例1 (1)(多選題)(2023·安徽蚌埠三
模)已知等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,等比
數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)積為Tn,則下列結(jié)論正確
的是 ( )
A.數(shù)列
Sn n 是等差數(shù)列
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第30頁
專題二 數(shù) 列????
B.數(shù)列{S2n+2-S2n}是等差數(shù)列
C.數(shù)列
T2n+2 T2n 是等比數(shù)列
D.數(shù)列{lgTn}是等差數(shù)列
(2)(2024·全國(guó)甲卷改編)已知等比數(shù)列
{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,且2Sn =3an+1-3,則
{an}的通項(xiàng)公式an= ;數(shù)列{Sn}的前
n 項(xiàng)和為Tn= .
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2023·湖北武漢市二模)設(shè)
數(shù)列 {an }的 前 n 項(xiàng) 和 Sn 滿 足 Sn +an =
n-1
n
2+n
,n∈N
* .證明:數(shù)列 Sn1 n+1 為等比
數(shù)列.
考向2 基本量的運(yùn)算
例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn 為
等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和.若S4=-5,S6=
21S2,則S8= ( )
A.120 B.85
C.-85 D.-120
【總結(jié)】
本題主要考查等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式
的應(yīng)用,以及整體思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是把
握S4,S8 的關(guān)系,從而減少相關(guān)量的求解,簡(jiǎn)
化運(yùn)算.
(2)(2024·重慶九龍坡區(qū)三模)已知Sn
是等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,S5=a11=20,數(shù)
列{bn}是公比大于1的等比數(shù)列,且b
2
3=b6,
b4-b2=12.
① 求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
② 設(shè)cn =
Sn
bn
,求 使cn 取 得 最 大 值 時(shí)n
的值.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2023·全國(guó)乙卷改編)記Sn
為等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,若a2=11,S10=
40,則{an}的通項(xiàng)公式為 ,
數(shù)列{|an|}的前n 項(xiàng)和Tn= .
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????考向3 性質(zhì)及應(yīng)用
例3 (2023· 新高考 Ⅰ 卷)設(shè)等差數(shù)列
{an}的公差為 d,且 d>1.令bn =
n
2+n
an
,記
Sn,Tn 分別為數(shù)列{an},{bn}的前n 項(xiàng)和.
(1)若 3a2 =3a1 +a3,S3 +T3 =21,求
{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,
求d.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2024·浙江杭州市三模)已
知等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,“a2024=0”
是“Sn=S4047-n(n<4047,n∈N
* )”的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
考向4 函數(shù)屬性
例4 (2024·山東泰安市二模)已知數(shù)列
{an}的通項(xiàng)公式為an =
9
2n-7
(n∈N
* ),前n
項(xiàng)和為Sn,則下列說法正確的是 ( )
A.數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a4
B.使得an∈Z的項(xiàng)共有4項(xiàng)
C.滿足anan+1an+2<0的n 值共有2個(gè)
D.使得Sn 取得最小值的n 值為4
【課后鞏固】
1.(2023·全國(guó)甲卷)記 Sn 為等差數(shù)列
{an}的前n 項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則
S5= ( )
A.25 B.22 C.20 D.15
2.(2023·福建漳州三模)已知數(shù)列{an}
為遞減的等比數(shù)列,n∈N
* ,且a2a7=32,a3+
a6=18,則{an}的公比為 ( )
A.
1
2
B.
1 2
3
5
C.2
3
5 D.2
3.(2024·湖南永州市三模)已知非零數(shù)
列{an}滿足2
nan+1-2
n+2an=0,則
a2024
a2021
=
( )
A.8 B.16 C.32 D.64
4.(2024·廣東汕頭市三模)已知等差數(shù)
列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,a2=3,a2n=2an+1.
若Sn+an+1=100,則n= ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.(多選題)(2024·山東臨沂市二模)已
知{an}是等差數(shù)列,Sn 是其前n 項(xiàng)和,則
( )
A.若a3 +a4 =9,a7 +a8 =18,則a1 +
a2=5
B.若a2+a13=4,則S14=28
C.若S15<0,則S7>S8
D.若{an}和{an ·an+1}都為遞增數(shù)列,
則an>0
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第32頁
專題二 數(shù) 列????
6.(多選題)(2024·湖南岳陽市一模)設(shè)
Sn 是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的
前n 項(xiàng)和,則 ( )
A.若d<0,則S1 是數(shù)列{Sn}的最大項(xiàng)
B.若數(shù)列{Sn}有最小項(xiàng),則d>0
C.若數(shù)列{Sn}是遞減數(shù)列,則對(duì)任意的:
n∈N
* ,均有Sn<0
D.若對(duì)任意的n∈N
* ,均有Sn >0,則數(shù)
列{Sn}是遞增數(shù)列
7.(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn 為等差數(shù)列
{an}的前n 項(xiàng)和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,
則S10= .
8.(2023·全國(guó)乙卷)已知{an}為等比數(shù)
列,a2a4a5 =a3a6,a9a10 = - 8,則 a7 =
.
9.(2024·廣東韶關(guān)市三模)數(shù)列{an}的
前n 項(xiàng)和為Sn.已知
2Sn
n
+n=2an+1.
(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)若a4,a7,a9 成等比數(shù)列,求Sn 的最
小值.
10.(2024·河北邯鄲市三模)設(shè)數(shù)列{an}
的前n 項(xiàng)和為Sn,已知S2=17,
Sn 5n+7 是公
差為
1
2
的等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
1
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)
和Tn.
11.(2024· 河北唐山市一 模)已 知 數(shù) 列
{an}是 正 項(xiàng) 等 比 數(shù) 列,其 前n 項(xiàng) 和 為Sn,且
a2a4=16,S5=S3+24.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記{an +log2an}的前n 項(xiàng)和為Tn,求
滿足Tn<2024的最大整數(shù)n.
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第33頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
第5講 數(shù)列的通項(xiàng)與求和
【考情回顧】
考點(diǎn) 近3年考題 考情分析
等 差、等
比 數(shù) 列
基 本 量
的計(jì)算
2024·新高
考Ⅱ卷,12
2023·新高
考Ⅰ卷,20
2022·新高
考Ⅱ卷,17
等 比 數(shù)
列 的 證
明、數(shù) 列
結(jié) 合 解
析幾何
2024 · 新
高 考 Ⅱ
卷,19
累 乘 法
求 通 項(xiàng)
公 式、裂
項(xiàng) 相 消
法求和
2022 · 新
高 考 Ⅰ
卷,17
含 奇 偶
項(xiàng) 的 分
組求和
2023 · 新
高 考 Ⅱ
卷,18
高考對(duì)數(shù)列的考查:
① 數(shù) 列 自 身 內(nèi) 部 問 題 的
綜合考查,如數(shù)列的遞 推
公式、等差、等比數(shù)列的性
質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和
公式、數(shù)列求和等;
② 構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求
和,如 “歸 納、累 加、累 乘,
分組、錯(cuò) 位 相 減、倒 序 相
加、裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和”等 方
法的應(yīng)用與創(chuàng)新;
③ 綜 合 性 問 題 如 與 不 等
式、函數(shù)等其他知識(shí)的 交
匯問題,與數(shù)列有關(guān)的 數(shù)
學(xué)文化問題及與實(shí)際生活
相關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)
不良問題.數(shù)列命題形 式
多種 多 樣,單 選 題、多 選
題、填空題、解答題4類題
型均有.小題難度中等 或
較難.
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了數(shù)列的新
定義問 題,Ⅱ 卷 考 查 了 等 差 數(shù) 列 基 本 量 的 計(jì)
算,體現(xiàn)在填空第一題中,難度較易.大題中考
查了等比數(shù)列的證明,但是是結(jié)合雙曲線考查
的,難度較難.
【真題熱身】
1.(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)Sn 為數(shù)列{an}的
前n 項(xiàng)和,已知a2=1,2Sn=nan.求:
(1){an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列
an+1
2 n 的前n 項(xiàng)和Tn.
2.(2023·四省適應(yīng)性測(cè)試)記數(shù)列{an}
的前n 項(xiàng)和為Tn,且a1=1,an=Tn-1(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) m 為整數(shù),且對(duì)任意n∈N
* ,m ≥
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
,求 m 的最小值.
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第34頁
專題二 數(shù) 列????
【典例突破】
考向1 和、項(xiàng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化
例1 (2024·湖北武漢市二模)已知各項(xiàng)
均不 為 0 的 數(shù) 列 {an}的 前 n 項(xiàng) 和 為Sn,且
a1=1,Sn=
anan+1+1
4
.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)于任意n∈N
* ,2
n ·λ≥Sn 成立,
求實(shí)數(shù)λ 的取值范圍.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2024·江蘇南通市二模)已
知數(shù) 列 {an }的 前 n 項(xiàng) 和 為 Sn,Sn =an -
4an+1,a1=-1.
(1)證明:數(shù)列{2an+1-an}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn =
an+4
n(n+1)
,求數(shù)列{bn}的前n
項(xiàng)和;
(3)是否存在正整數(shù)p,q(p<6<q),使
得Sp,S6,Sq 成等差數(shù)列? 若存在,求p,q;若
不存在,請(qǐng)說明理由.
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江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????考向2 常見的數(shù)列求和方法
例2 (2024·浙江紹興市三模)已知數(shù)列
{an}的 前n 項(xiàng) 和 為Sn,且a1 =2,Sn =
n
n+2
an+1.求:
(1)Sn;
(2)數(shù)列{Sn}的前n 項(xiàng)和Tn.
例3 (2024·福建莆田市二模)已知等差
數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,公差d≠0,且a2,
a4,a8 成等比數(shù)列,S5=15.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn =
an, n 為奇數(shù),
2 n , n 為偶數(shù),
求數(shù)列{bn}
的前2n 項(xiàng)和T2n.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2024·福建福州市三模)記
Sn 是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,
若a4=a
2
1,S4=3S2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b1=
1
2
,(bn +bn+1)Sn =2,求數(shù)列
{bn}的前2n+1項(xiàng)的和T2n+1.
考向3 常見的數(shù)列不等式證明
例4 (2024·河北保定市三模)已知數(shù)列
{bn}的 前n 項(xiàng) 和 為Sn,且 3b1 +3
2b2 + … +
3
nbn=Sn+n
2.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:Sn<
4
3
.
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專題二 數(shù) 列????對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2024·福建漳州市一模)已
知正 項(xiàng) 數(shù) 列 {an }的 前 n 項(xiàng) 和 為Sn,且 滿 足
Sn=
a
2
n+4
2an
.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn =
36
(S
2
n-6)2,Tn 為數(shù)列{bn}的
前n 項(xiàng)和,證明,Tn<
45
2
.
【課后鞏固】
1.(2023·廣東揭陽市二模)已知正項(xiàng)等
比數(shù)列{an}中,a2=2,a4=8,數(shù)列{an +an+3}
的前n 項(xiàng)和為Sn,則S5= ( )
A.288 B.99
C.99或279 D.279
2.(2024·福建廈門市二模)已知正項(xiàng)等
差數(shù)列 {an}的 公 差 為 d,前n 項(xiàng) 和 為Sn,且
4S3=(a3+1)2,4S4=(a4+1)2,則d=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2023·山東濟(jì)南市一模)在數(shù)列{an}
中,a1=3,am+n=am +an(m,n∈N
* ).若a1+
a2+a3+…+ak=135,則k= ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4.(2024·湖北武漢市二模擬預(yù)測(cè))法布
里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用
時(shí),用光波依次透過n 層薄膜,記光波的初始
功率為P0,記Pk 為光波經(jīng)過第k 層薄膜后的
功率,假設(shè)在經(jīng)過第k 層薄膜時(shí)光波的透過率
Tk=
Pk
Pk-1
=
1
2
k,其中k=1,2,3,…,n,為使得
Pn
P0
≥2
-2024,則n 的最大值為 ( )
A.31 B.32
C.63 D.64
5.(多選題)(2023·河北衡水二模)已知
數(shù)列 {an }是 首 項(xiàng) 為
1
2
的 正 項(xiàng) 等 比 數(shù) 列.若
2a2+4a3=1,則 ( )
A.a3=2a2
B.數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為
63
64
C.數(shù)列 log2an 是遞減的等差數(shù)列
D.若bn =
1
log2anlog2an+1
,則數(shù)列{bn}的
前n 項(xiàng)和的最大值為1
6.(多選題)(2023·福建漳州市三模)已
知Sn 為等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和,且a3=3,
S5+S2=18,bn =
1
a2n-1·a2n+1
,記數(shù)列{bn}的
前n 項(xiàng)和為Tn,則 ( )
A.an=n-1
B.Sn=
n(n+1)
2
C.bn=
1
2n-1
-
1
2n+1
D.T10=
10
21
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第37頁
江海名師零距離·高考二輪總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)基礎(chǔ)版???????????
7.(2023· 山 東 淄 博 三 模)在 等 差 數(shù) 列
{an}中,a4=5,a7=11,bn =(-1)nan,則數(shù)列
{bn}的前101項(xiàng)和S101= .
8.(2024· 廣 東 廣 州 市 三 模)已 知 數(shù) 列
{an}滿 足 a1 =1,a2 =1,an+1 =2an +3an-1
(n≥2),數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,則S2025=
.
9.(2024·全國(guó)甲卷)記Sn 為數(shù)列{an}的
前n 項(xiàng)和,且4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=(-1)n-1nan,求數(shù)列{bn}的前
n 項(xiàng)和為Tn.
10.(2024· 山東濟(jì)南市一 模)已 知 數(shù) 列
{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,a1=
3
2
且Sn =2an+1-
3,令bn=
n
2+n
an
.
(1)求證:{an}為等比數(shù)列;
(2)求使得bn 取得最大值時(shí)的n 的值.
11.(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}為等差
數(shù)列,bn=
an-6,n 為奇數(shù), 2an, n 為偶數(shù),
記Sn,Tn 分別為
數(shù)列{an},{bn}的前n 項(xiàng)和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:當(dāng)n>5時(shí),Tn>Sn.
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